Harmonische Formen & FEM

Einführung

Der Finite Element Exterior Calculus (FEEC) ist ein moderner Ansatz zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Es verbindet Methoden der Differentialgeometrie, Funktionalanalysis und Topologie. Im Gegensatz zur klassischen FEM bewahrt FEEC zentrale Strukturen wie exakte Sequenzen, Hodge-Zerlegung und de-Rham-Kohomologie.

Hodge-Problem

Das Hodge-Laplace-Problem ist für Hilberträume $ V^k\subset W^k $ auf dem zugehörigen Hilbertkomplex

$$ W^{k-1} \;\mathrel{% \begin{matrix} \xrightarrow{d^{k-1},\ V^{k-1}} \\[-2ex] \xleftarrow[\ \ d_k^*,\ V_k^*\ \ ]{} \end{matrix}% }\; W^k \;\mathrel{% \begin{matrix} \xrightarrow{\ \ d^{k},\ V^{k} \ \ } \\[-2ex] \xleftarrow[d_{k+1}^*,\ V_{k+1}^*]{} \end{matrix}% }\; W^{k+1} $$

das zentrale Modellproblem der FEEC und lautet

$$ \Delta u = (d^*_{k+1}d^k + d^{k-1}d_k^*)u = (d^k)^*d^ku+d^{k-1}(d^{k-1})^*u = f. $$

Der Kern von $\Delta$ sind genau die harmonischen Formen $\mathfrak{H}^k$, welcher durch

$$ \mathfrak{H}^k = \{ u \in V^k \cap V_k^*\subset W^k \;\mid\; du=0,\; d^\ast u=0 \} $$

definiert sind. Die Dimension von $ \mathfrak{H}^k $ entspricht der $k$-ten Betti-Zahl. Physikalisch beschreiben die harmonische Formen topologisch bedingte Freiheitsgrade wie Tunnel oder Hohlräume.

Die relevanten Formulierungen des Hodge-Laplace-Problems sind somit:

Starke Formulierung:

$$ L u = f - P_{\mathfrak{H}} f, \quad u \perp \mathfrak{H}. $$

Dies entspricht der Gleichung $ f = d d^* u + P_{\mathfrak{H}} f + d^* d u $, welche direkt die Hodge-Zerlegung widerspiegelt.

Primale schwache Formulierung:

$$ \langle d u, d v \rangle + \langle d^* u, d^* v \rangle = \langle f - P_{\mathfrak{H}} f, v \rangle, \quad \forall v \in V^k \cap V_k^*. $$

Gemischte schwache Formulierung:

$$ \begin{aligned} \langle \sigma, \tau \rangle - \langle u, d\tau \rangle &= 0, &&\forall \tau \in V^{k-1}, \\ \langle d\sigma, v \rangle + \langle d u, d v \rangle + \langle p, v \rangle &= \langle f, v \rangle, &&\forall v \in V^k, \\ \langle u, q \rangle &= 0, &&\forall q \in \mathfrak{H}^k, \end{aligned} $$

wobei $\sigma = d^* u$. Anhand der starken Formulierung sieht man, dass für die Existenz einer Lösung

$$ \langle f, q \rangle = 0 \quad \forall q \in \mathfrak{H}^k $$

gelten muss. Die Eindeutigkeit folgt aus der zusätzlichen Bedingung $u \perp \mathfrak{H}^k$.

de-Rham-Komplex

Eines der wichtigsten Beispiele für einen Hilbertkomplex ist der $L^2$-de-Rham-Komplex. In $\mathbb{R}^3$ ergibt sich die Sequenz

$$ 0 \rightarrow H^1 \xrightarrow{\nabla} H(\mathrm{curl}) \xrightarrow{\mathrm{rot}} H(\mathrm{div}) \xrightarrow{\mathrm{div}} L^2 \rightarrow 0 $$

und die Kosequenz (mit Randbedingungen)

$$ 0 \leftarrow L^2 \xleftarrow{-\,\mathrm{div}} H_0(\mathrm{div}) \xleftarrow{\mathrm{rot}} H_0(\mathrm{curl}) \xleftarrow{-\,\nabla} H^1_0 \leftarrow 0. $$

Für Vektorfelder ($k=1$) ergibt sich

$$ \mathrm{rot}\,\mathrm{rot}\, u - \nabla(\mathrm{div}\, u) = f - P_\mathfrak{H} f. $$

Liegt $f$ im Bild des Rotationsoperators, entsteht das $B^*_1$-Problem mit $$ \mathrm{rot}\,\mathrm{rot}\, u = f, \quad \mathrm{div}\, u = 0, $$ ergänzt durch natürliche Randbedingungen $u \cdot n = 0$, $(\mathrm{rot}\, u) \times n = 0$. Dieses Beispiel zeigt, wie die FEEC klassische Gleichungen in einen strukturtreuen, stabilen Rahmen überführt. Durch eine geeignete Diskretisierung (z.B. mit Whitney-Elemente) des Komplexes kann dann die PDE approximiert werden.

Code

In folgendem Code ist das Problem $ \mathrm{rot}\ \mathrm{rot} \ u=f $ auf einer Geometrie mit $b_1=1$, z.B. $\Omega=(0,1)^3 \backslash (1/3,2/3)^3$, implementiert, um die Wichtigkeit der Orthogonalität von $u$ zu $\mathfrak{H}$ zu demonstrieren.

Repository: https://git.numexp.org/leonschmid/FiniteElementExteriorCalculus

Clone

https://git.numexp.org/leonschmid/FiniteElementExteriorCalculus.git

Quellen

Douglas Arnold, Richard Falk und Ragnar Winther. Finite element exterior calculus: from Hodge theory to numerical stability.
Douglas N. Arnold. Finite Element Exterior Calculus.
Douglas N. Arnold, Richard S. Falk und Ragnar Winther. Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications.