Harmonische Formen & FEM

Idee

Ziel ist eine stabile FEM für den Hodge-Laplacian auf Differentialformen. Zentrale Struktur ist die (kontinuierliche) de-Rham-Sequenz und ihre kompatible diskrete Version (commuting diagrams). Damit bleiben Ko-/Kernräume und Randbedingungen (absolut/relativ) numerisch kontrollierbar.

Kurzformeln

Hodge-Laplacian auf $k$-Formen: $ \Delta = d\,\delta + \delta\,d $.

de-Rham-Komplex (3D):

$$ H^1 \xrightarrow{\;\nabla\;} H(\mathrm{curl}) \xrightarrow{\;\mathrm{curl}\;} H(\mathrm{div}) \xrightarrow{\;\mathrm{div}\;} L^2 $$

Schwache Form (schematisch): finde $u$ mit

$$ (d u, d v) + (\delta u, \delta v) = (f, v) \quad \forall v $$

Diskret: Wahl passender Räume (Nédélec/RT/BDM je nach Grad) so, dass die diskrete Sequenz die Ableitungen respektiert (commuting property).

Code

Repository: git.numexp.org/ferdinandkruppa/harmonic-forms-fem

Clone

git clone https://git.numexp.org/ferdinandkruppa/harmonic-forms-fem.git

Notizen

Räume: $H(\mathrm{curl}),\, H(\mathrm{div}),\, L^2$ inkl. Piola-Mappings.
Elemente: Nédélec (1./2. Art), Raviart–Thomas, BDM (Grad je nach Ordnung).
Randbedingungen: absolut/relativ; Wohldefiniertheit der Spur-Operatoren.
Orthogonalität: energetischer Projektor, stabile Kommutierung.